Įdomesni uždaviniai

Tikimybių teorijos uždavinys, kurio sprendimo eigoje reikia išspręsti pilnąją kvadratinę lygtį.

Užduotis.
Dėžėje yra $40$ detalių. Tikimybė, kad $2$ atsitiktinai parinktos detalės bus standartinės yra $\Large \frac {7} {60}$. Kiek dėžėje standartinių detalių?

Sprendimas.
Standartinių detalių skaičius atsitiktinai parinktose detalėse pasiskirstęs pagal hipergeometrinį skirstinį $X\sim H(N, M, n)$, čia $N$ – visi, $M$ – pažymėti, $n$ – parinkti objektai.
Atsitiktinio dydžio $X$ reikšmių įgijimo tikimybės nusakomos formule: $P(X=k)=\frac {\LARGE{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}} {\LARGE{C_N^n}} $
Turime $X\sim H(40, M, 2)$ ir $P(X=2)=\cfrac {7} {60}$, $N=40$, $n=2$, $k=2$.
Rasti $M$ – pažymėtų objektų skaičių.
Pritaikome hipergeometrinio atsitiktinio dydžio $X$ reikšmių įgijimo tikimybių formulę, tuo atveju, kai $X$ įgyją reikšmę $2$.
$ P(X=2)=\large \cfrac {{C_M^2 C_{40-M}^{2-2}}} {{C_{40}^2}} $

$P(X=2)= \cfrac {\cfrac {M!} {(M-2)!2!} \cdot \cfrac {(40-M)!} {(40-M)!0!}}
{\cfrac{40!}{38!2!}} $

$P(X=2)= \cfrac{M!}{(M-2)!2!} \cdot \cfrac{38!2!}{40!} $

$P(X=2)= \cfrac{(M-1)M}{39 \cdot 40 }$

$P(X=2)= \cfrac {7}{60}$

Iš dviejų paskutinių lygybių gauname lygtį.

$\cfrac{(M-1)M}{39 \cdot 40 }= \cfrac {7}{60} $

Išsprendę šią lygtį, rasime $M$ standartinių detalių skaičių.

$\cfrac{(M-1)M}{13 \cdot 2 } = \cfrac {7}{1}$

Panaudoję kryžminę proporcijos narių sandaugą, gauname pilnąją kvadratinę lygtį.

$M^2 – M = 182$

$M^2 – M – 182 = 0$

$D = 1 + 4 \cdot 182 = 729$

$M = \cfrac {1+\sqrt{729}}{2} = \cfrac{1 + 27}{2} = \cfrac{28}{2} = 14$

$\mathbf { M = 14 } $

Gavome atsakymą, dežėje yra $\mathbf 14$ standartinių detalių.