Modulis. Užduotys. Sprendimai

Modulis

Užduotis. Apskaičiuokite $\color{#1f77b4}{\vert 2\sqrt 3 – 4\vert} \cdot (1+\sqrt 3 )^2 = ?$

Sprendimas.
   1. Žingsnis. Nuimame modulį. Tikriname, reiškinys, esantis modulio viduje didesnis ar mažesnis už $0$.

   Kadangi $2\sqrt 3 – 4 \color{#ff7f0e}{\lt 0} $, tai $\color{#1f77b4}{\vert 2\sqrt 3 – 4\vert }= \color{#ff7f0e}{-(}2\sqrt 3 – 4\color{#ff7f0e}{)}$.

   2. Žingsnis. Vietoje modulio įstatome gautąją išraišką.

   $\color{#1f77b4}{\vert 2\sqrt 3 – 4\vert} \cdot (1+\sqrt 3 )^2 = $$ -(2\sqrt 3 – 4)\cdot (1+\sqrt 3 )^2$

   3. Žingsnis. Sutvarkome naujai gautąjį reiškinį be modulio ženklų. Jei reikia, sudauginame, sutraukiame panašius narius.

   $ -(2\sqrt 3 – 4)\cdot (1+\sqrt 3 )^2=$$-(2\sqrt 3 – 4)\cdot(1+2\sqrt 3+3)=$$-(2\sqrt 3 – 4)\cdot(2\sqrt 3 + 4)=$$-((2\sqrt 3)^2-4^2)=$$-(4 \cdot 3 -16)=$$-(12-16)=$$-(-4)=4$

Atsakymas. $\color{#1f77b4}{\vert 2\sqrt 3 – 4\vert} \cdot (1+\sqrt 3 )^2 = 4$


Užduotis. Apskaičiuokite $\sqrt 3 – 2 + \color{#1f77b4}{\vert 1- \sqrt 2\vert} – \color{#1f77b4}{\vert 2- \sqrt 3 – \sqrt 2 \vert} = ?$

Sprendimas.
   1. Žingsnis. Nuimame modulį $\vert 1- \sqrt 2\vert$. Tikriname, ar reiškinys, esantis modulio viduje didesnis ar mažesnis už $0$.

   Kadangi $1-\sqrt 2 \color{#ff7f0e}{\lt 0} $, tai $\color{#1f77b4}{\vert 1- \sqrt 2\vert} = \color{#ff7f0e}{-(}1-\sqrt 2\color{#ff7f0e}{)}=\sqrt 2 – 1 $

   Nuimame modulį $\vert 2- \sqrt 3 – \sqrt 2 \vert$. Tikriname, ar reiškinys, esantis modulio viduje didesnis ar mažesnis už $0$.

   Kadangi $2- \sqrt 3 – \sqrt 2 \color{#ff7f0e}{\lt 0}$, tai $\color{#1f77b4}{\vert 2- \sqrt 3 – \sqrt 2 \vert} = \color{#ff7f0e}{- (}2- \sqrt 3 – \sqrt 2 \color{#ff7f0e}{)}=$$\sqrt 3+\sqrt 2-2 $

   2. Žingsnis. Vietoje modulių įstatome gautąsias išraiškas.

   $\sqrt 3 – 2 + \color{#1f77b4}{\vert 1- \sqrt 2\vert} – \color{#1f77b4}{\vert 2- \sqrt 3 – \sqrt 2 \vert} =$$ \sqrt 3-2+\sqrt 2-1-(\sqrt 3+\sqrt 2-2)$

   3. Žingsnis. Sutvarkome naujai gautąjį reiškinį be modulio ženklų. Jei reikia, sudauginame, sutraukiame panašius narius.

   $\sqrt 3-2+\sqrt 2-1-(\sqrt 3+\sqrt 2-2)=$$\sqrt 3+\sqrt 2-3-\sqrt 3-\sqrt 2+2=-1$

Atsakymas.$\sqrt 3 – 2 + \color{#1f77b4}{\vert 1- \sqrt 2\vert} – \color{#1f77b4}{\vert 2- \sqrt 3 – \sqrt 2 \vert} =-1$


Užduotis. Apskaičiuokite $\sqrt {( 3\sqrt 5 – 7)^2} – \sqrt[3]{(3-3\sqrt 5)^3}= ?$

Sprendimas.
   1. Žingsnis. Turime, kad sutampa šaknies ir šaknyje esančio reiškinio laipsniai. Vadinasi, laipsnius ir šaknis galime nuimti.

   $\sqrt {( 3\sqrt 5 – 7)^2} =\color{#1f77b4}{\vert 3\sqrt 5 – 7 \vert}$, nes šaknies laipsnis lyginis.
   $\sqrt[3]{(3-3\sqrt 5)^3}=3-3\sqrt 5 $, nes šaknies laipsnis nelyginis.

   2. Žingsnis. Nuimame modulį $\vert 3\sqrt 5 – 7 \vert$. Tikriname, ar reiškinys, esantis modulio viduje didesnis ar mažesnis už $0$.

   Kadangi $3\sqrt 5 – 7 \color{#ff7f0e}{\lt 0} $, tai $\color{#1f77b4}{\vert 3\sqrt 5 – 7 \vert} = \color{#ff7f0e}{-(}3\sqrt 5 – 7\color{#ff7f0e}{)}=7-3\sqrt 5$.

   3. Žingsnis. Įstatome gautąsias išraiškas į reiškinį.

   $\sqrt {( 3\sqrt 5 – 7)^2} – \sqrt[3]{(3-3\sqrt 5)^3}= $$\color{#1f77b4}{\vert 3\sqrt 5 – 7 \vert} -(3-3\sqrt 5)= $$ 7-3\sqrt 5-(3-3\sqrt 5) $

   4. Žingsnis. Sutvarkome naujai gautąjį reiškinį be modulio ir šaknies ženklų. Jei reikia, sudauginame, sutraukiame panašius narius.

   $7-3\sqrt 5-(3-3\sqrt 5) = $$7-3\sqrt 5-3+3\sqrt 5=4 $

Atsakymas. $\sqrt {( 3\sqrt 5 – 7)^2} – \sqrt[3]{(3-3\sqrt 5)^3}= 4$