Pilnoji kvadratinė lygtis

$\huge \color{#ffb100}{a}\color{#00aeff}{x^2}+\color{#8dc63f}{b}\color{#00aeff}{x}+\color{#dd0014}{c}=0,$
$\huge \color{#00aeff}{x}=?$
$\huge \color{#00aeff}{x}= \frac{\Huge -\color{#8dc63f}{b} \, \pm \, \sqrt{\color{#8dc63f}{b}^2-4\color{#ffb100}{a}\color{#dd0014}{c}}}{\Huge 2\color{#ffb100}{a} },$
$\huge D=\color{#8dc63f}{b}^2-4\color{#ffb100}{a}\color{#dd0014}{c}.$

$\, \LARGE \color{#00aeff}{x^2}\color{#8dc63f}{-5}\color{#00aeff}{x}+\color{#dd0014}{6}=0,$
$\large a=\color{#ffb100}{1}, \, b=\color{#8dc63f}{-5}, \, c=\color{#dd0014}{6},$
$\large D=(\color{#8dc63f}{-5})^2-4 \cdot \color{#ffb100}{1} \cdot \color{#dd0014}{6}=1, $
$\Large \color{#00aeff}{x_1}=\frac{\LARGE{-(\color{#8dc63f}{-5})-\sqrt 1}}{\LARGE 2 \cdot \color{#ffb100}{1} }=2,$
$\Large \color{#00aeff}{x_2}=\frac{\LARGE{-(\color{#8dc63f}{-5})+\sqrt 1}}{\LARGE 2 \cdot \color{#ffb100}{1} }=3.$

Kvadratinė lygtis

$ \Large \color{#00aeff}{x^2}\color{#8dc63f}{-5}\color{#00aeff}{x}+\color{#dd0014}{6}=y $


Spręsdami pilnąją kvadratinę lygtį $\color{#ffb100}{a}\color{#00aeff}{x^2}+\color{#8dc63f}{b}\color{#00aeff}{x}+\color{#dd0014}{c}=0$ , naudojame kvadratinės lygties sprendinių formulę $x= \frac{\Large -\color{#8dc63f}{b} \,\pm\, \LARGE \sqrt{\Large \color{#8dc63f}{b}^2-4\color{#ffb100}{a}\color{#dd0014}{c}}}{\Large 2\color{#ffb100}{a}}$, $\,D=\color{#8dc63f}{b}^2-4\color{#ffb100}{a}\color{#dd0014}{c}\,$.
Išsiaiškinsime, kaip gaunama ši formulė, kad geriau ją suprastume, atsimintume ir pritaikytume.

Pradžia. Turime pilnąją kvadratinę lygtį. $ax^2+bx+c=0$
1 Žingsnis. Askiriame narius.
Nariai su $x$ į dešinę, nariai be $x$ į kairę. $ax^2+bx=-c$
2 Žingsnis. Suprastiname ir sutraukiame panašius narius.
Tiriamasis kintamasis turi likti vienas.
1. Tikslas – kad $x$ būtų tik vieną kartą.
2. Problema – $x$ pasikartoja du kartus, neišeina sutraukti narių, nes jų laipsniai skirtingi.
3. Sprendimas – iš $ax^2+bx$ suformuoti pilną kvadratą tam, kad būtų galima pritaikyti formulę $ x^2+2xy+ y^2 =(x+y)^2$ ir taip gauti išraišką $(x+y)^2$, kurioje $x$ pasikartoja tik vieną kartą.
Daliname lygtį iš $a$. $ax^2+bx=-c∣ : a $
$x^2 +  \frac{\Large b}{ \Large a} \normalsize{x}=- \frac{\Large c}{\Large a}$
Iš $\frac{\Large b}{ \Large a} \normalsize{x}$ suformuojame $2xy$ atitikmenį. $\frac{\Large b}{ \Large a} \normalsize{x}=2x \frac{\Large b}{\Large 2a}$
Pridedame iki pilno kvadrato trūkstamą narį $ \Biggr( \frac{ \Large b}{ \Large 2a} \normalsize{ \Biggr)^2}$, abejose lygties pusėse tam, kad išlaikytume lygybę. $x^2 + 2x \frac{\Large b}{\Large 2a}  +  \Biggr( \frac{\Large b}{\Large 2a} \normalsize \Biggr)^2 $$ =\; –  \frac{\Large c}{\Large a}  \normalsize{+}  \Biggr(  \frac{\Large  b}{\Large 2a} \normalsize{ \Biggr)^2}$
Kairėje lygties pusėje gavome pilną kvadratą $x^2 + 2x \frac{\Large b}{\Large 2a}  +  \Biggr( \frac{\Large b}{\Large 2a} \normalsize \Biggr)^2$
Kairėje pusėje pritaikome formulę $ x^2+2xy+ y^2$$ =(x+y)^2$. $\Biggr(x+\frac{\Large b}{\Large 2a}\normalsize{ \Biggr)^2}$$= \; –  \frac{\Large c}{\Large a}  \normalsize{+}  \Biggr(  \frac{\Large  b}{\Large 2a} \normalsize{ \Biggr)^2}$
Dešinėje pusėje suvienodiname vardiklius ir sudedame trupmenas. $\Biggr(x+\frac{\Large b}{\Large 2a}\normalsize{ \Biggr)^2}$$=\frac{\Large b^2}{\Large 4 a^2 }-\frac{\Large c4a}{\Large a4a }$$ = \frac{\Large b^2-4ac}{\Large 4a^2}$
Ištraukiame kvadratinę šaknį. $x+\frac{\Large b}{\Large 2a}$$=\pm\sqrt{\frac{\Large b^2-4ac}{\Large 4a^2}}$
3 Žingsnis. Gauname tiriamojo kintamojo išraišką per kitus narius.
Perkeliame $\frac{\Large b}{\Large 2a}$ į dešinę pusę. $x=-\frac{\Large b}{\Large 2a}\pm\frac{\sqrt{\Large b^2-4ac}}{\Large 2a}$
Sudedame trupmenas dešinėje pusėje. $x=\frac{\Large -b\,\pm\
\LARGE \sqrt{\Large b^2-4ac}}{\Large 2a}$
Gavome pilnosios kvadratinės lygties $ax^2+bx+c=0$ sprendinių formulę. $x= \frac{\Large -b \,\pm \,\LARGE\sqrt{\Large b^2-4ac}}{\Large 2a }$, $ \, D=b^2-4ac$.


Pilno kvadrato geometrinis paaiškinimas. Figūros $ 1, 2, 3, 4 $ sudaro pilną kvadratą .

$x$
$\frac{b}{2a}$
$x$
$1$
$2$
$\frac{b}{2a}$
$3$
$4$

Sudėję figūrų $ 1, 2, 3, 4 $ plotus $ S_1, S_2, S_3, S_4 $ gausime pilno kvadrato plotą $S$:

$S=S_1+S_2+S_3+S_4$$=x^2+x\frac{\Large b}{\Large 2a}+x\frac{\Large b}{\Large 2a}+\biggr(\frac{\Large b}{\Large 2a}\biggr)^2 $$ =x^2+2 x \frac{\Large b}{\Large 2a}+\biggr(\frac{\Large b}{\Large 2a}\biggr)^2. \quad (1)$

Sudauginę pilno kvadrato dviejų gretimų kraštinių ilgius, taip pat gausime pilno kvadrato plotą $S$:

$S=\biggr(x+\frac{\Large b}{\Large 2a}\biggr)\cdot\biggr(x+\frac{\Large b}{\Large 2a}\biggr)$$=\biggr(x+\frac{\Large b}{\Large 2a}\biggr)^2. \qquad (2)$

Iš $(1)$ ir $(2)$ lygybių gauname formulę:

$\biggr(x+\frac{\Large b}{\Large 2a}\biggr)^2=x^2+2x\frac{\Large b}{\Large 2a}+\biggr(\frac{\Large b}{\Large 2a}\biggr)^2$.