Trikampių panašumo požymiai
Užduotis. Sprendimas.

Panašūs trikampiai

Trikampių panašumo požymiai. Užduotis. Sprendimas.
Užduotis Duotas lygiašonis trikampis $ABC$ $(AB=BC)$, kurio šoninės kraštinės ilgis lygus $2 dm$, o kampo prieš pagrindą $AC$ didumas lygus $36^\circ$. Atkarpa $AD$ yra šio trikampio pusiaukampinė.
Įrodykite, kad trikampiai $ABC$ ir $ADC$ yra panašūs.
Pagrįskite, kad trikampio $ABC$ pagrindo $AC$ ilgis lygus $(\sqrt{5}-1) dm$.
Sprendimas.
Trikampis $ABC$ lygiašonis, vadinasi $\angle BAC = \angle ACB $.
Trikampio kampų suma lygi $180^\circ$, vadinasi $\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$.
$\left.
\begin{array}{l}
\angle BAC = \angle ACB\\
\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ
\end{array}
\right\}
$$\Rightarrow \angle BAC = \angle ACB = 72^\circ
$
Atkarpa $AD$ yra pusiaukampinė, vadinasi $\angle BAD = \angle CAD$.
$\left.
\begin{array}{l}
\angle BAD = \angle CAD\\
\angle BAC = 72^\circ
\end{array}
\right\}
$$\Rightarrow \angle BAD = \angle CAD = 36^\circ
$
Trikampio kampų suma lygi $180^\circ$, vadinasi $\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$.
$\left.
\begin{array}{l}
\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ\\
\angle CAD = 36^\circ\\
\angle ACD = 72^\circ
\end{array}
\right\}
$$\Rightarrow \angle ADC = 180^\circ – 36^\circ – 72^\circ = 72^\circ
$
Trikampių panašumo požymis pagal du kampus. Jeigu vieno trikampio du kampai yra atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kampams, tai tie du trikampiai yra panašūs.
$\left.
\begin{array}{l}
\triangle ABC, & \angle BAC = 72^\circ , \angle ACB = 72^\circ \\
\triangle ADC, & \angle ADC = 72^\circ , \angle ACD = 72^\circ
\end{array}
\right\}
$$\Rightarrow \triangle ABC \text{ ir } \triangle ADC \text{ panašūs}.
$
Pažymime $AC=x$.
$AD=x$, nes $\triangle ADC$ – lygiašonis (nes $\angle ADC = \angle ACD $)
$BD=x$, nes $\triangle ABD$ – lygiašonis (nes $\angle ABD = \angle BAD $)
$CD=BC-BD=2-x$.
Kadangi trikampiai $\triangle ABC$ ir $\triangle ADC$ yra panašūs, tai jų atitinkamos kraštinės proporcingos.
$\cfrac {AB} {BC} = \cfrac {AC} {CD}$
$\cfrac {2} {x} = \cfrac {x} {2-x}$
Proporcijų lygybei pritaikę kryžminę sandaugą, gauname lygtį.
$2 \cdot (2-x)=x \cdot x$
$x^2+2x-4=0$
Kaip spręsti pilnąją kvadratinę lygtį, galima rasti čia:
Pilnoji kvadratinė lygtis. Diskriminantas. Sprendimas.
Lygties sprendinys $x=\sqrt{5}-1$.
Gavome, kad $AC=x=\sqrt{5}-1$.

Naudingas informacijos šaltinis apie panašiuosius trikampius:
Math Open Ref / Similar Triangles