Vektoriai
Užduotis. Sprendimas.

$Vektoriai$

Užduotis. Duotas trikampis $ABC$. Taškas $\color{#29abe2}{O}$ trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taškas, $ \overrightarrow {AC} = \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {a}} $, $ \overrightarrow {BC} = \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {b}} $, $ \overrightarrow {AO} = \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {c}} $. Vektorių $ \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {c}} $ išreikškite vektoriais $ \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {a}} $ ir $ \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {b}} $.
Sprendimas. Trys žingsniai.
1. Rasime vektoriaus $ \overrightarrow {AD} $ išraišką per $ \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {c}} $
2. Rasime vektoriaus $ \overrightarrow {DC} $ išraišką per $ \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {b}} $
3. Rasime vektoriaus $ \overrightarrow {AC} $ išraišką per $ \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {c}} $ ir $ \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {b}} $, pagal trikampio taisyklę sudėdami vektorius $ \overrightarrow {AD} $ ir $ \overrightarrow {DC} $
1.
$ \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} $
Randame $ \overrightarrow {OD}$.
Taikome trikampio pusiaukraštinių susikirtimo savybę – susikirtimo taškas dalija kiekvieną pusiaukraštinę santykiu $2:1$ nuo viršūnės. $ {\cfrac{\overrightarrow {AO}} { \overrightarrow {OD}}} = \cfrac{2}{1}$
$\overrightarrow {OD}= {\cfrac{1}{2}} \overrightarrow {AO} = \cfrac{1}{2} \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {c}} $
$ \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {c}} +\cfrac{1}{2} \color{#ff7f0e} { \overrightarrow {c}}=\cfrac{3}{2}\color{#ff7f0e} { \overrightarrow {c}}$
2.
Pusiaukraštinė dalija kraštinę į dvi lygias dalis.
$\left.
\begin{array}{l}
\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {DC}\\
\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC}
\end{array}
\right\}
\Rightarrow \overrightarrow {DC}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}$
$\overrightarrow {DC}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}=\cfrac{1}{2}\color{#ff7f0e} { \overrightarrow {b}} $
3.
Naudojame trikampio taisyklę.
$\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DC}$
$\color{#ff7f0e} { \overrightarrow {a}}= \cfrac{3}{2}\color{#ff7f0e} { \overrightarrow {c}}+\cfrac{1}{2}\color{#ff7f0e} { \overrightarrow {b}}$
$\color{#ff7f0e} { \overrightarrow {c}}=\cfrac{1}{3}(2\color{#ff7f0e} { \overrightarrow {a}}-\color{#ff7f0e} { \overrightarrow {b}})$
Atsakymas
$\color{#ff7f0e} { \overrightarrow {c}}=\cfrac{1}{3}(2\color{#ff7f0e} { \overrightarrow {a}}-\color{#ff7f0e} { \overrightarrow {b}})$

Naudingi informacijos šaltiniai apie vektorius:
Math Is Fun / Vectors
Math Insight / Vector introduction
Rasmus Is / Vectors in the coordinate system
Math24 / Vectors coordinates