Įbrėžtinis apskritimas į rombą
Užduotis. Sprendimas

Trigonometrija Įbrėžtinis apskritimas Rombas

Užduotis. Smailusis rombo kampas lygus $30^\circ$, o įbrėžtinio apskritimo spindulys lygus $\sqrt 5$. Apskaičiuokite rombo plotą.
Sprendimas.
Kampas $\angle CEO=90^\circ$, nes rombo kraštinė yra apskritimo liestinė, o apskritimo spindulys statmenas liestinei.
Vadinasi trikampis $\triangle CDO$ yra statusis.
Rombo įstrižainė dalija kampą pusiau $\angle DCO=\cfrac{30^\circ}{2}=15^\circ$.
Statinis $EO=\sqrt 5$ yra prieš $15^\circ$ kampą. Galime pritaikyti formulę
$\color{#ff7f0e}{\sqrt 5 = x \cdot \sin 15^\circ \qquad (1)}$
Apskaičiuosime $\sin 15^\circ=\sin (45^\circ – 30^\circ)$, pritaikydami trigonometrinių funkcijų sąryšį $\color{#1f77b4}{\sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta}$.
$\sin 15^\circ=\sin (45^\circ – 30^\circ)$$=\sin 45^\circ \cos 30^\circ – \cos 45^\circ \sin 30^\circ$
$\sin 15^\circ= \cfrac {\sqrt 2 }{2} \cdot \cfrac {\sqrt 3 }{2} – \cfrac {\sqrt 2 }{2} \cdot \cfrac {1}{2}$
$\sin 15^\circ= \cfrac {\sqrt 2 (\sqrt 3 -1)}{4}$
Įstatome gautą $\sin 15^\circ$ reikšmę į $(1)$ lygtį.
$\sqrt 5 = x \cdot \cfrac {\sqrt 2 (\sqrt 3 -1)}{4}$
Ir turime rombo įstrižainės $AC$ pusę.
$x = \cfrac {4 \sqrt 5 }{\sqrt 2 (\sqrt 3 -1)}$
Dabar nagrinėjame kitą statųjį trikampį $\triangle DEO$.
$\angle EOD = 90^\circ – 75^\circ = 15^\circ$.
Statinis $EO=\sqrt 5$ yra prie $15^\circ$ kampo. Galime pritaikyti formulę
$\color{#ff7f0e}{\sqrt 5 = y \cdot \cos 15^\circ \qquad (2)}$.
Apskaičiuosime $\cos 15^\circ=\cos (45^\circ – 30^\circ)$, pritaikydami trigonometrinių funkcijų sąryšį $\color{#1f77b4}{\cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}$.
$\cos 15^\circ=\cos (45^\circ – 30^\circ)$$=\cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$
$\cos 15^\circ= \cfrac {\sqrt 2 }{2} \cdot \cfrac {\sqrt 3 }{2} + \cfrac {\sqrt 2 }{2} \cdot \cfrac {1}{2}$
$\cos 15^\circ= \cfrac {\sqrt 2 (\sqrt 3 +1)}{4}$
Įstatome gautą $\cos 15^\circ$ reikšmę į $(2)$ lygtį.
$\sqrt 5 = y \cdot \cfrac {\sqrt 2 (\sqrt 3 +1)}{4}$
Ir turime rombo įstrižainės $BD$ pusę.
$y = \cfrac {4 \sqrt 5 }{\sqrt 2 (\sqrt 3 +1)}$
Rombo plotą galima skaičiuoti pagal tik rombams būdingą taisyklę: rombo plotas yra lygus jo įstrižainių sandaugos pusei:
$\color{#1f77b4}{S=\cfrac {AC \cdot BD}{2}}$
$S=\cfrac {2x \cdot 2y} {2}=2xy $
$S=2 \cdot \cfrac {4 \sqrt 5 }{\sqrt 2 (\sqrt 3 -1)} \cdot \cfrac {4 \sqrt 5 }{\sqrt 2 (\sqrt 3 +1)}$
$S=2 \cdot \cfrac {16 \cdot 5 }{2(3-1)}=40 $
Atsakymas. $S=40 $
II Sprendimo kelias. Lengvesnis ir trumpesnis!
$\color{#ff7f0e}{\sqrt 5 = x \cdot \sin 15^\circ \qquad (1)}\quad$ nes $\triangle COE$ statusis. Statinis $\sqrt{5}$ yra PRIEŠ $15^\circ$ kampą. $x$ yra įžambinė.
$x=\cfrac{\sqrt{5}}{\sin 15^\circ}$
$\color{#ff7f0e}{\sqrt 5 = y \cdot \cos 15^\circ \qquad (2)}\quad$ nes $\triangle DOE$ statusis. Statinis $\sqrt{5}$ yra PRIE $15^\circ$ kampo. $y$ yra įžambinė.
$y=\cfrac{\sqrt{5}}{\cos 15^\circ}$
Įstatome $x$ ir $y$ į rombo ploto formulę.
$\color{#1f77b4}{S=\cfrac {AC \cdot BD}{2}}$
$S=\cfrac {2x \cdot 2y} {2}=2xy $
$S=2 \cdot \cfrac{\sqrt{5}}{\sin 15^\circ} \cdot \cfrac{\sqrt{5}}{\cos 15^\circ} $
$S=\cfrac{2 \cdot 2 \cdot 5}{2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ} $
Pritaikome dvigubo kampo trigonometrinę formulę $\color{#1f77b4}{\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha} $
$S=\cfrac{2 \cdot 2 \cdot 5}{ \sin 30^\circ } $
$S=\cfrac{2 \cdot 2 \cdot 5}{ \cfrac{1}{2} } $
$S=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 40$
Atsakymas. $S=40 $